KL-Divergenz

KL-Divergenz im Überblick

KL-Divergenz misst, wie unterschiedlich zwei Wahrscheinlichkeitsverteilungen sind.

Die Formel:

DKL(P||Q) = Σ P(x) × log(P(x) / Q(x))

P = "wahre" Verteilung
Q = approximierte Verteilung

Beispiel:

P = [p1, p2]  (Referenzverteilung)
Q = [q1, q2]  (approximierte Verteilung)

DKL(P||Q) = p1×log(p1/q1) + p2×log(p2/q2)

Je stärker Q von P abweicht, desto größer wird die Divergenz.

Technisch betrachtet

KL-Divergenz berechnen

import numpy as np

def kl_divergence(p, q):
    # Vermeidet log(0)
    p = np.clip(p, 1e-10, 1)
    q = np.clip(q, 1e-10, 1)
    return np.sum(p * np.log(p / q))

p = np.array(reference_distribution)
q = np.array(approx_distribution)
print(f"KL(P||Q) = {kl_divergence(p, q):.3f}")
print(f"KL(Q||P) = {kl_divergence(q, p):.3f}")  # meist nicht gleich

VAE Loss mit KL

def vae_loss(x, x_recon, mu, logvar):
    # Reconstruction Loss
    recon_loss = F.binary_cross_entropy(x_recon, x, reduction='sum')
    
    # KL Divergence: approximierte Latent-Verteilung vs. Prior
    kl_loss = -0.5 * torch.sum(1 + logvar - mu.pow(2) - logvar.exp())
    
    return recon_loss + kl_loss

Forward vs. Reverse KL

Weil die KL-Divergenz nicht symmetrisch ist, macht die Richtung einen praktischen Unterschied – die beiden Varianten bestrafen unterschiedliche Fehler:

Forward KL bestraft es hart, wenn Q einem Ereignis Wahrscheinlichkeit ~0 gibt, das unter P vorkommt (der Term log(P/Q) explodiert). Reverse KL bestraft umgekehrt, wenn Q Masse dort platziert, wo P keine hat.

Warum KL beim LLM-Training überall auftaucht

Drei Stellen, an denen die KL-Divergenz in modernen Sprachmodellen zentral ist:

1. Pre-Training: Die Cross-Entropy-Loss ist bis auf eine Konstante identisch mit der KL-Divergenz zwischen der echten Token-Verteilung und der Modellvorhersage – jedes Sprachmodell minimiert also implizit eine KL-Divergenz.
2. RLHF: Beim Feintuning per Reinforcement Learning wird eine KL-Penalty zur Reward-Funktion addiert. Sie hält die neue Policy nahe am Basismodell und verhindert, dass das Modell den Reward „hackt”, indem es unnatürlichen Text erzeugt.
3. Knowledge Distillation: Der Student wird darauf trainiert, die weiche Wahrscheinlichkeitsverteilung des Teachers zu imitieren – gemessen per KL-Divergenz statt nur über harte Labels.

Typische Stolperfallen

• KL ist keine Metrik: Sie verletzt Symmetrie und Dreiecksungleichung. Wer ein echtes Abstandsmaß braucht, nutzt z. B. die Jensen-Shannon-Divergenz (symmetrisierte KL).
• Division durch Null: Sobald Q(x) = 0 bei P(x) > 0, ist die Divergenz unendlich. In der Praxis werden Verteilungen deshalb geglättet oder geclippt (siehe np.clip oben).
• Einheit beachten: Mit log zur Basis 2 misst KL in Bits, mit natürlichem Logarithmus in Nats – beim Vergleich von Werten aus verschiedenen Quellen relevant.